אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6"

Δάμων Λιάπης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת: deg (דרגה) הוא החזקה הכי גבוהה n N של x שהמקדם שלה לא אפס, אם הפולינום איננו קבוע. אם הפולינום קבוע, נאמר שהדרגה היא 0.) (א) + x p(x) = x + x x + 1, q(x) = מעל.Q x x 1 x + x x + 1 x + x + x x x x x x + 1 x כלומר p(x) = (x x 1) (x + ) + x + x x + 1 = ניתן לרשום את כל התהליך גם "בשורה אחת": {}}{ x + x x x x + = (x + )(x x 1) + (ב) אותו הדבר מעל Z 5 ומעל Z. באופן דומה, מעל Z 5 נקבל (ע"י ביצוע אותן פעולות בדיוק) אותה תוצאה. אפשר לרשום אותה גם כך: + ) + 4)(x p(x) = (x + 4x + גם מעל Z נקבל את התוצאה הרצויה ע"י אותן פעולות. אפשר לקצר ולומר כי אנו מחלקים את p(x) ב x, ולקבל מיד p(x) = x (x + x ) + 1 = x (x + x + 1) + 1 1

2 (ג) + 1 x p(x) = x x +, q(x) = x + מעל.Q כמו קודם, x x + x + x + 1 x + x + 4x + 1 בשלב זה אי אפשר להמשיך ולחלק, כיוון שהדרגה של + 1 4x קטנה מהדרגה של + 1 x x. + (כדאי לשים לב שאם הדרגה היתה שווה, היינו ממשיכים. בדיוק כמו עבור,p q בסעיף הנוכחי.) לכן p(x) = x x + = (x + x + 1) 4x + 1 (ד) 1 x p(x) = x n 1, q(x) = מעל.Q (כאן (n N (במידת הצורך, הביטו ב n קטן כלשהו, כגון =, (.n x n 1 = (x 1)(x n 1 + x n x + 1) דרך א'. ניזכר בנוסחת הכפל המקוצר ומכאן ינבע כי p מתחלק ב q עם שארית 0. (את הנוסחה עצמה אפשר להוכיח באינדוקציה: בסיס: עבור = 1 n היא נכונה. צעד: נניח שהיא נכונה עבור n ונוכיח עבור 1+n. (בשוויון השני השתמשנו בהנחת האינדוקציה:) x n+1 1 = x n+1 x n +x n 1 = x n (x 1)+(x 1)(x n 1 +x n ) = (x 1)(x n +x n x+1) כלומר, הראנו את צעד האינדוקציה. לכן הטענה נכונה לכל n.) דרך ב'. נבצע חלוקת פולינומים כרגיל. הנה השלב הראשון: x n 1 x n 1 x 1 x n x n 1 x n 1 1 כלומר קיבלנו כי n 1 1 x n 1 = (x 1)x n 1 + x לכל.n N אם נמשיך כך, נוכל להוכיח באינדוקציה כי לכל k n,k N 1 מתקיים x n 1 = (x 1)(x n 1 + x n x n k ) + x n k 1 x n 1 = (x 1)(x n x + 1) ועבור k = n נקבל (* אפשר גם לרשום כביכול בעזרת חלוקת פולינומים ולהגיע לנוסחה זו "באינדוקציה" כי יהיו לנו "..." שאומרות נמשיך כך, כלומר נמשיך באינדוקציה. נראה שהדרך שלא תשאיר ספק באשר לחורים בהוכחה היא "לנחש" כך את הנוסחה בעזרת חלוקת פולינומים ולאחר מכן להוכיח אותה באינדוקציה כמו שהראנו קודם.)

3 (ה) p(x) = x 4 1, q(x) = x i מעל C (אם אתם מכירים את (.C דרך א'. נשים לב ש x 4 1 = (x 1)(x + 1) = (x 1)(x i)(x + i) כלומר x 4 1 מתחלק ב x i ללא שארית. (יכלנו לראות זאת מיד ע"י הצבת x = i ב 1 x.) 4 x + ix x i x 4 1 x i x 4 ix ix 1 ix + x x 1 x + ix ix 1 ix 1 0 x 4 1 = (x i)(x + ix x i) דרך ב'. נבצע חילוק ארוך כרגיל (אך מעל C) ולכן. יהי p(x) = a n x n a 1 x + a 0 פולינום עם מקדמים שלמים:.a 0, a 1,..., a n Z נניח כי מחלק את a 0 s הוכיחו כי.(s Z, t N שבר מצומצם (ו s t כאשר,p הוא שורש של b = s t Q ו t מחלק את a. n רמז: השתמשו בכך שאם b שורש אז p(x) מתחלק ב ( b x) (והסיקו את הטענה לגבי s). בשביל ההמשך (דרך אפשרית): רשמו = 0 p(b) באופן מפורש. ו t וכי זהו שבר מצומצם, כלומר ל s p הוא שורש רציונאלי של b = s t הוכחה. נניח כי Q אין מחלקים משותפים (שאינם 1,1) (אם יש מחלק משותף, נצמצם בו ונמשיך כך עד שנגיע לשבר מצומצם). נוכיח תחילה ש s מחלק את a. 0 אנו יודעים כי מתקיים = 0,p(b) כלומר s n a n t n + a s n 1 n 1 t n a s 1 t + a 0 = 0 / t n a n s n + a n 1 s n 1 t a 1 st n 1 +a 0 t n }{{} = 0 ( ) אנו רואים כי הביטוי המסומן ב ( ) מתחלק ב s (מדובר במספר שלם שאפשר לכתובו כ s כפול מספר שלם). לכן גם a 0 t n מתחלק ב s (כי הוא שווה ל מינוס ( )), כלומר קיים שלם m כך ש a. 0 t n = s m אנו יודעים של s ו t אין מחלקים משותפים (לכן כך גם עבור s ו t), n לכן s מחלק את a. 0 s = p b pb k k (פרטים: נרשום את s כמכפלה של מספרים ראשוניים (עם חזקות מתאימות): (ישנה דרך יחידה לעשות זאת, אך זה לא חשוב לנו). אנו יודעים כי הראשוניים האלה p 1,..., p k לא מחלקים את t, שכן אחרת ל t,s היו מחלקים משותפים. נרשום את האגף a 0 t n כמכפלת ראשוניים

4 (עם חזקות) גם כן. לפי מה שראינו, הביטוי a 0 t n חייב להתחלק בראשוניים p 1,..., p k (למעשה עם p b1 אמור להופיע כגורם של a. 0 t n אבל כיוון שאינו מופיע כאחד הגורמים החזקות.(b 1,... b k כלומר 1.p b1 וכך לכל i k.1 כלומר סה"כ a 0 מתחלק שבאים ממחלקים של t, בהכרח a 0 מתחלק ב 1 (.s = p b pb k k ב נוכיח כעת ש t מחלק את a. n נביט בשוויון שקיבלנו קודם, בהנחה ש b = s t הוא שורש של :p(x) a n s n + a n 1 s n 1 t a 1 st n 1 + a 0 t n = 0 הסקנו מכאן ש s מחלק את a, 0 אך באותה דרך בדיוק נוכל להסיק ש t מחלק את a. n t s הוא שורש של הפולינום אפשר לראות גם כך: שוויון זה שקול לכך ש p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n ולכן t (שהוא המונה) מחלק את המקדם החופשי a. n. פרקו לגורמים מעל Q (כמה שמתאפשר). (א) 6 x p(x) = x + x פתרון. נברר האם ישנם שורשים רציונאליים למשוואה = 0.p(x) לפי שאלה, עלינו לחפש b = s t (שבר מצומצם) כאשר s מחלק את 6 ו t מחלק את 1. כלומר, יש לנו את המועמדים הבאים לשורשים: {6,6,,,,,1,1}. נציב אותם בזה אחר זה וניראה האם אחד מהם (או יותר) הוא שורש של p. נשים לב ש 0 (1 )p (1)p.,0 אבל = 0 ( )p. לכן נעצור כאן ונחלק את p(x) ב + x ) :) x + x x 6 = x (x + ) (x + ) = (x )(x + ) לפולינום הריבועי x אין שורשים רציונאליים, לכן לא נוכל להמשיך ולפרק אותו מעל Q. (ב) + x p(x) = x 4 x פתרון. באופן דומה, לפי שאלה, שורשים רציונאליים אפשריים של פולינום זה הם {,,1,1}. נשים לב ש 0 = (1)p, אז נוכל לחלק בו ללא שארית ונקבל x 4 x x + = x 4 x + x x x + x x + = = (x 1)(x + x x ) האם נוכל להמשיך ולפרק את x q(x) = x + x לגורמים מעל?Q שורשים רציונאליים אפשריים שלו הם: {,,1,1} (ואין מועמדים אחרים, גם כן לפי שאלה ). בדיקה קצרה מעלה כי אף אחד מהם אינו שורש. מכאן שהפולינום q(x) לא מתפרק לגורמים מדרגה קטנה יותר מעל Q. הערה: בקורס חדו"א מראים כי לכל פולינום מדרגה (בעצם דרגה אי זוגית באופן כללי), קיים שורש ממשי אחד לפחות! אכן, גם כאן הוא קיים, אבל אינו רציונאלי. 4

5 (ג) ( ) 1 p(x) = x 4 + x + דרך א' כל פולינום במקדמים ממשיים מתפרק לגורמים ליניאריים מעל C. במקרה זה, נוכל למצוא אותם בקלות. נסמן.t = x נחפש שורשים של המשוואה = t t + ב C. כאן ) (i = = 4 = 1. לכן שורשי המשוואה הזאת הם t 1 = 1 i, t = 1 + i?x = t 1 = cos( 4π ) + i sin( 4π בדיוק עבור זויות נחזור למשתנה x. עבור אילו x מתקיים ),x = r(cos α+i sin α) בהצגה הפולרית α = 4π +πk, k Z (צריך להתקיים π, π +π כאן = 1 x (.r = לכן x 1 = cos( π ) + i sin(π ) = 1 + i, x = 1 i באופן דומה, עבור x = t,t מתקיים עבור x = cos π + i sin π, x 4 = cos 5π + i sin 5π אנו יודעים שמעל המרוכבים ניתן לפרק לארבעה גורמים ליניאריים: p(x) = (x x 1 )(x x )(x x )(x x 4 ) נשיב לב ששורשי משוואה זו מחולקים לזוגות של מספרים מרוכבים צמודים זה לזה (זה לא במקרה, ראו הערה בסוף): x 1 = x 4, x = x ולכן ) 4 (x x 1 )(x x ו ( (x x )(x x שניהם פולינומים ממעלה שניה עם מקדמים ממשיים! הסבר: (x x 1 )(x x 4 ) = (x x 1 )(x x 1 ) = x (x 1 + x 1 )x + x 1 x 1 וכזכור x 1 + x 1 = R(x 1 ) R (פעמיים החלק הממשי של (x 1 ו R x 1 x 1 = x 1 (כאן 1 x הערך המוחלט של x: 1 מרחקו מהראשית.) מספרית במקרה שלנו מתקבל ששני הפולינומים האלה הם: p(x) = (x x + 1)(x + x + 1) וזהו פירוק לגורמים (ממעלה שניה) של p(x) מעל R. (אי אפשר להמשיך ולפרק מעל הממשיים, כיוון שלשני הפולינומים האלה כבר אין שורשים ממשיים.) דרך ב' (טריק) נשים לב ש x 4 +x +1 = x 4 +x +1 x = (x +1) x = (x +1 x)(x +1+x) = (x x+1)(x +x+1) (" דרך ג' " איכשהו לנחש את התוצאה.) 5

6 6 הערה. ניתן לדעת מראש כיצד יתפרק הפולינום. אנו יודעים שפולינום במקדמים ממשיים (או מרוכבים) מתפרק במרוכבים לגורמים ליניאריים (גורם מסוים יכול להופיע כמה פעמים, כלומר הוא יכול להופיע באיזושהי חזקה). כמו כן, אנו יודעים (נכון?) כי שורשים מרוכבים של פולינום עם מקדמים ממשיים באים בזוגות! כלומר: אם α C הוא שורש של פולינום עם מקדמים ממשיים, אז גם הצמוד שלו, α, C הוא שורש של אותו פולינום. (זו טענה נחמדה, אפשר להוכיח אותה מי שלא מכיר/ה.) נוכל לבדוק כי לפולינום הנתון לא קיימים שורשים ממשיים (אחרת היינו מוצאים אותם בהשתמש בהצבה t = x ופתרון המשוואה עבור x). לכן ל ( p(x ישנם שורשים מרוכבים שאינם ממשיים. אז לפולינום ישנם ארבעה שורשים (יכול להיות שאלה ארבעה שורשים מרוכבים שונים בזוגות המהווים שני זוגות (שונים) של מספרים מרוכבים צמודים, או שאלה שני שורשים צמודים זה לזה ושניהם עם ריבוי (כלומר, פעמיים אותו זוג מספרים צמודים)). בכל אופן, כל זוג סוגריים (x α)(x α) = x (α + α)x + α α בפירוק של p לגורמים ליניאריים מעל C יוצר גורם ממעלה שניה, שהוא פולינום עם מקדמים ממשיים! (כמו שמוסבר לעיל). לכן סה"כ הפולינום הנתון יתפרק לשני גורמים ריבועיים מעל R (אם במקרה שניהם זהים, אז יהיה גורם ריבועי בריבוע.).

Σχετικά έγγραφα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת